Что такое матрица? Понятие матрицы

Действия над матрицами

1. Суммой (разностью) двух матриц Пример: и Пример: одинаковой структуры называется матрица той же размерности Пример: элементы которой вычисляются по формуле: Пример:

Пример:

Найти сумму (разность) матриц Решение:

Решение:

Из приведенных матриц складывать (вычитать) можно только матрицы А и С, которые имеют одинаковую структуру. Найдем сумму:

и разность этих матриц:

и разность этих матриц:

2. При умножении вещественного числа k на матрицу

2. При умножении вещественного числа k на матрицу все все элементы матрицы умножаются на это число.

Пример:

Умножить (-2) на матрицу Решение:

Решение:

Результат умножения имеет вид 3. Произведением матриц  и  называется матрица эле

3. Произведением матриц Замечание: Перемножать можно лишь те матрицы, для и Замечание: Перемножать можно лишь те матрицы, для называется матрица Замечание: Перемножать можно лишь те матрицы, для элементы которой вычисляются по формуле: Замечание: Перемножать можно лишь те матрицы, для

Замечание: Перемножать можно лишь те матрицы, для которых количество столбцов первой перемножаемой матрицы совпадает с количеством строк второй перемножаемой матрицы. Матрица, получаемая в результате перемножения, имеет количество строк равное количеству строк первой матрицы и количество столбцов равное количеству столбцов второй матрицы.

Пример:

Найти (возможные) произведения матриц

Решение:

Решение:

Матрица А имеет структуру 2×3, матрица В — 2×2, матрица С — 3×2. Согласно определению можно найти произведения Не существуют произведения Вычислим произведение Прежде всего, определим структуру результирующей матрицы: имеем размерности и убирая подчеркнутые цифры, получим структуру результирующей матрицы 2×3. Вычислим ее элементы. Для того чтобы найти элементы возможных произведений, надо просуммировать произведения элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы:

Остальные возможные произведения найти самостоятел

Остальные возможные произведения найти самостоятельно.

Замечание: Из приведенного примера видно, что в общем случае произведение матриц некоммутативно (неперестановочно), т. е.Определение: Обратной матрицей к исходной квадратн

Определение: Обратной матрицей к исходной квадратной матрице Рассмотрим схему построения обратной матрицы называется матрица А той же структуры, произведение которой с матрицей А коммутативно и равно единичной матрице, то есть Рассмотрим схему построения обратной матрицы

Рассмотрим схему построения обратной матрицы  находят детерминант матрицы  - определитель матри

  • находят детерминант матрицы А — определитель матрицы А , если вычисляют алгебраические дополнения  всех элементо, то обратной матрицы не существует);
  • вычисляют алгебраические дополнения записывают выражение для обратной матрицы всех элементов определителя записывают выражение для обратной матрицы ;
  • записывают выражение для обратной матрицы

Замечание: Обращаем внимание на то, что матрица алгебраических дополнений записана в транспонированном виде.

Пример:

Найти обратную матрицу к матрице Решение:

Решение:

Вычислим детерминант данной матрицы раскроем этот определитель по элементам первой строки:

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов определителя: Проверим правильность нахождения обратной матрицы, Запишем обратную матрицу Проверим правильность нахождения обратной матрицы,

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, для чего воспользуемся ее определением. Умножим найденную матрицу на исходную матрицу, вычислим элементы результирующей матрицы

Таким образом,  т.е. найдена верно.

Таким образом, т.е. найдена верно.

Видео

Связанные понятия

Линейные комбинации

В векторном пространстве линейной комбинацией векторов называется вектор

где  если все коэффициенты равны нулю, то такая комбин — коэффициенты разложения:

  • если все коэффициенты равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной,
  • если же хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то такая комбинация называется нетривиальной.

Это позволяет описать произведение  столбцы матрицы  — это линейные комбинации с матриц и терминах линейных комбинаций:

  • столбцы матрицы строки матрицы  — это линейные комбинации стр — это линейные комбинации столбцов матрицы с коэффициентами, взятыми из матрицы ;
  • строки матрицы  — это линейные комбинации строк матрицы с коэффициентами, взятыми из матрицы .

Линейная зависимость

Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации, то говорят о линейной зависимости данного вектора от элементов комбинации.

Точнее, говорят так: некоторая совокупность элементов векторного пространства называется линейно зависимой, если существует равная нулю линейная комбинация элементов данной совокупности или

где не все числа линейно независимой равны нулю; если такой нетривиальной комбинации не существует, то данная совокупность векторов называется линейно независимой.

Линейная зависимость векторов означает, что какой-то вектор заданной совокупности линейно выражается через остальные векторы.

Каждая матрица представляет собой совокупность векторов (одного и того же пространства). Две такие матрицы — две совокупности. Если каждый вектор одной совокупности линейно выражается через векторы другой совокупности, то на языке теории матриц этот факт описывается при помощи произведения матриц:

  • если строки матрицы если столбцы матрицы  линейно зависят от столбцов линейно зависят от строк матрицы , то если столбцы матрицы  линейно зависят от столбцов для некоторой матрицы ;
  • если столбцы матрицы линейно зависят от столбцов другой матрицы , то для некоторой матрицы .

Ранг матрицы

Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.

Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы.

Матрицы в теории групп

Матрицы играют важную роль в теории групп. Они используются при построении общих линейных групп, специальных линейных групп, диагональных групп, треугольных групп, унитреугольных групп.

Конечную группу (в частности, симметрическую) можно (изоморфно) промоделировать матрицами перестановок (содержащими только «0» и «1»),

например, для 
 Поле  комплексных чисел может быть (изоморфно)  : 
 Поле  комплексных чисел может быть (изоморфно) , , , 
 Поле  комплексных чисел может быть (изоморфно) , , .

Поле для  матричные аналоги  ,  , где  ; комплексных чисел может быть (изоморфно) промоделировано над полем вещественных чисел:

для  соответствует  ; матричные аналоги , , где  соответствует  ; ;

 соответствует  ; соответствует  ;

 соответствует  ; соответствует  соответствует  ; ;

 ; соответствует  ;

 ;

 соответствует  . при  соответствует  . соответствует при  соответствует  . ;


 В частности, для  , соответствует 
 В частности, для  , .

В частности, для ,

соответствует ,

где .

Замечание. Модель имеет автоморфизм , то есть 
 Тело кватернионов  может быть (изоморфно) промо

Тело кватернионов может быть (изоморфно) промоделировано над полем вещественных чисел:

для матричный аналог , где .

Для того, чтобы кватерниону соответствовала матрица где  ,  ,  ,  , ,

где , , , можно ввести базисные элементы ,

можно ввести базисные элементы

Параметры должны удовлетворять условиям:  и  . , , Параметры должны удовлетворять условиям:  и  . , Параметры должны удовлетворять условиям:  и  . .

Параметры должны удовлетворять условиям: и .

Существует 8 решений (8 представлений).

Простые операции с матрицами

Вынесение минуса за пределы матрицы. Если внутри матрицы у большинства элементов знак минус, то часто это мешает расчётам или приводит к ошибкам. Чтобы этого избежать, от минуса избавляются. Для этого нужно вынести минус за пределы матрицы и изменить знак всех элементов внутри самой матрицы. 

И наоборот: если внутри матрицы у большинства элементов знак минус и перед матрицей стоит минус, то минус можно внести в матрицу.

Выносим минус за пределы матрицы и получаем вместо
Выносим минус за пределы матрицы и получаем вместо двадцати одного отрицательного элемента — четыре
Перед матрицей минус, и внутри у большинства элеме
Перед матрицей минус, и внутри у большинства элементов минус. Вносим минус в матрицу и делаем её удобной для дальнейших вычислений

Умножение матрицы на число. Для умножения матрицы на число достаточно каждый элемент матрицы умножить на это число.

Пример умножения матрицы на число
Пример умножения матрицы на число

Транспонирование матрицы. Это операция, которая позже нам понадобится для решения матричных уравнений. Для транспонирования мы берём известную матрицу, меняем в ней местами строки со столбцами и получаем новую матрицу. Как бы поставили матрицу набок. 

⚠️ При этом в матрице запрещено в произвольном порядке менять элементы. Зато можно полностью менять местами строки или столбцы. Если мы поменяем местами первую и вторую строку, то это останется прежняя матрица.

Схема транспонирования матриц: первая строка перех
Схема транспонирования матриц: первая строка переходит в первый столбец, вторая строка — во второй столбец и так далее в зависимости от количества элементов матрицы
Пример транспонирования. Транспонированная матрица
Пример транспонирования. Транспонированная матрица обозначается буквой той же матрицы, из которой она получилась + надстрочечный индекс в виде печатной буквы «Т»
Матрицу можно перетасовывать, но это нужно делать
Матрицу можно перетасовывать, но это нужно делать по правилам. Транспонирование — одно из таких правил

Определитель матрицы

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.  Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу. 

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот — столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис. Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.

Теги