Что такое модуль действительного числа

Модуль числа коротко о главном

Определение модуля:

Модуль (абсолютная величина) числа \( \displaystyle x\) — это само число \( \displaystyle x\), если \( \displaystyle x\ge 0\), и число \( \displaystyle -x\), если \( \displaystyle x<0\):

\( \displaystyle \left| x \right|=\left\{ \begin{array}{l}x,\ \ x\ge 0\\-x,\ \ x<0\end{array} \right.\)

Свойства модуля:

  • Модуль числа есть число неотрицательное: \( \left| x \right|\ge 0,\text{ }\left| x \right|=0\Leftrightarrow x=0\);
  • Модули противоположных чисел равны: \( \left| -x \right|=\left| x \right|\);
  • Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: \( \left| x\cdot y\right|=\left| x \right|\cdot \left|y\right|\);
  • Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: \( \displaystyle \left| \frac{x}{y} \right|=\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|},\text{ y}\ne \text{0}\);
  • Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:\( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\);
  • Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: \( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|\) при \( \displaystyle c>0\);
  • Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: \( {{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}}\).

Кстати, в продолжение этой темы у нас есть отличная статья: «Уравнения с модулем«. Когда прочитаешь эту статью, обязательно ознакомься и со второй.

И просто чтобы ты знал, модуль часто попадается при решении квадратных уравнений или иррациональных.

Видео

Раскрытие модуля

Когда мы говорим, что |3|= 3 или |−3|= 3 мы выполняем действие называемое раскрытием модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

Такую запись мы ранее не использовали. Дело в том,

Такую запись мы ранее не использовали. Дело в том, что равенство можно задавать несколькими формулами. Фигурная скобка указывает, что возможны два случая в зависимости от условия. В данном случае условиями являются записи «если x ≥ и «если x < .

В зависимости от того что будет подставлено вместо x, выражение |x| будет равно x, если подставленное число больше или равно нулю. А если вместо x подставлено число меньшее нуля, то выражение |x| будет равно −x.

Второй случай на первый взгляд может показаться противоречивым, поскольку запись |x| = −x выглядит будто модуль стал равен отрицательному числу. Следует иметь ввиду, что когда x < 0, то под знáком модуля располагается отрицательное число. После знака равенства нужно подстáвить данное отрицательное число вместо x и раскрыть скобки.

Например, найдём модуль числа −7, используя правило раскрытия модуля:

Итак, x = −7

Итак, = −7

|−7|

В данном случае выполняется второе условие < 0, ведь −7 < 0

Поэтому используем вторую формулу. А именно |x| = 

Поэтому используем вторую формулу. А именно |x| = −x. Подстáвим вместо x число −7

Отсюда:

Отсюда:

Поэтому |−7| = 7.

Поэтому |−7| = 7.

Пример 2. Пусть = 5. То есть мы рассматриваем модуль числа 5

| 5 |

В данном случае выполняется первое условие ≥ 0, ведь 5 ≥ 0

Поэтому используем первую формулу. А именно | x |

Поэтому используем первую формулу. А именно | x | = x. Получаем | 5 | = 5.

Ноль это своего рода точка перехода, в которой модуль меняет свой порядок раскрытия и далее сохраняет свой знак. Визуально это можно представить так:

На рисунке красные знаки минуса и плюса указывают

На рисунке красные знаки минуса и плюса указывают как будет раскрываться модуль |x| на промежутках < 0 и ≥ 0.

К примеру, если взять числа 1, 9 и 13, а они принадлежат промежутку ≥ 0, то согласно рисунку модуль  |x| раскроется со знаком плюс:

| 1 | = 1

| 9 | = 9

| 13 | = 13

А если возьмём числа, меньшие нуля, например −3, −9, −15, то согласно рисунку модуль раскроется со знаком минус:

|−3| = −(−3) = 3

|−9| = −(−9) = 9

|−15| = −(−15) = 15

Пример 3. Пусть = √4 − 6. То есть мы рассматриваем модуль выражения √4 − 6,

|√4 − 6|

Корень из числа 4 равен 2. Тогда модуль примет вид

|√4 − 6| = |2 − 6| = |−4|

x который был равен √4−6 теперь стал равен −4. В данном случае выполняется второе условие < 0, ведь −4 < 0

Следовательно, используем вторую формулу |x| = −x.

Следовательно, используем вторую формулу |x| = −x. Продолжаем решение в исходном примере:

|√4 − 6| = |2 − 6| = |−4| = −(−4) = 4

На практике обычно рассуждают так:

«Модуль раскрывается со знаком плюс, если подмодульное выражение больше или равно нулю; модуль раскрывается со знаком минус, если подмодульное выражение меньше нуля».

Примеры:

|2| = 2 — модуль раскрылся со знаком плюс, поскольку 2 ≥ 0

|−4| = −(−4) = 4 — модуль раскрылся со знаком минус, поскольку −4 < 0

В некоторых учебниках можно встретить следующую запись правила раскрытия модуля:

В этой записи первое условие которое ранее выгляде

В этой записи первое условие которое ранее выглядело как ≥ 0 расписано подробнее, а именно сказано что если > 0, то выражение |x| будет равно x, а если x=0, то выражение |x| будет равно нулю.

Пример 4. Пусть x = 0. То есть мы рассматриваем модуль нуля:

| 0 |

В данном случае выполняется условие x=0, ведь 0 = 0

Отсюда: |0| = 0

Отсюда: |0| = 0

Пример 5. Раскрыть модуль в выражении |x|+ 3

Если ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид + 3.

Если < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид −+ 3. Чтобы сделать это выражение более удобным для восприятия, поменяем местами его члены, полýчим 3 − x

Теперь запишем решение так:

Проверим это решение при произвольных значениях x

Проверим это решение при произвольных значениях x.

Допустим, требуется найти значение выражения |x|+ 3 при = 5. Поскольку 5 ≥ 0, то модуль, содержащийся в выражении |x|+ 3 раскрóется со знаком плюс и тогда решение примет вид:

|x|+ 3 = x + 3 = 5 + 3 = 8

Найдём значение выражения |x|+ 3 при = −6. Поскольку −6 < 0, то модуль содержащийся в выражении |x|+ 3 раскроется со знаком минус и тогда решение примет вид:

|x| + 3 = 3 − x = 3 − (−6) = 9

Пример 6. Раскрыть модуль в выражении x +|x + 3|

Если x + 3 ≥ 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком плюс и тогда исходное выражение примет вид x + x + 3, откуда 2x + 3.

Если x + 3 < 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком минус и тогда исходное выражение примет вид x − (x + 3), откуда x − x − 3 = −3.

Запишем решение так:

Заметим, что условия x + 3 ≥ 0 и x + 3 < 0 явля

Заметим, что условия x + 3 ≥ 0 и x + 3 < 0 являются неравенствами. Их можно привести к более простому виду, решив их:

Тогда условия из решения можно заменить на равноси

Тогда условия из решения можно заменить на равносильные x ≥ −3 и x < −3

Во втором случае когда x строго меньше −3 выражени

Во втором случае когда x строго меньше −3 выражение x +|x + 3| всегда будет равно постоянному числу −3.

Например, найдём значение выражения x +|x + 3| при x = −5. Поскольку −5 < −3, то согласно нашему решению значение выражения x +|x + 3| будет равно −3

При x = −5, x +|x + 3| = x − x − 3 = −5(−5) 3 = −3

Найдём значение выражения x +|x + 3| при = 4. Поскольку 4 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения+|+ 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив 4 получим 11

При x = 4, x +|x + 3| = 2x+3 = 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x=−3.

Поскольку −3 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения+|+ 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив −3 получим −3

x +|x + 3| = 2+ 3 = 2 × (−3) + 3 = −6 + 3 = −3

Пример 3. Раскрыть модуль в выражении Как и прежде используем правило раскрытия модуля:

Как и прежде используем правило раскрытия модуля:

Но это решение не будет правильным, поскольку в пе

Но это решение не будет правильным, поскольку в первом случае написано условие ≥ 0, которое допускает что при x = 0 знаменатель выражения ноль делить нельзя обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.

В данном примере удобнее использовать подробную запись правила раскрытия модуля, где отдельно рассматривается случай при котором = 0

Перепишем решение так:

Перепишем решение так:

В первом случае написано условие x > 0 . Тогда

В первом случае написано условие > 0. Тогда выражение x = 3 станет равно 1. Например, если = 3, то числитель и знаменатель станут равны 3, откуда полýчится 1

И так будет при любом x , бóльшем нуля.

И так будет при любом x, бóльшем нуля.

Во втором случае написано условие x = 0. Тогда решений не будет, потому что на ноль делить нельзя.

В третьем случае написано условие x < 0. Тогда выражение −1 станет равно −1. Например, если = −4, то числитель станет равен 4, а знаменатель −4, откуда полýчится единица −1

Пример 4. Раскрыть модуль в выражении 

Пример 4. Раскрыть модуль в выражении Если x ≥ 0 , то модуль, содержащийся в числителе,

Если ≥ 0, то модуль, содержащийся в числителе, раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид x, которое при любом x, бóльшем нуля, будет равно единице:

Если x < 0 , то модуль раскроется со знаком мин

Если < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид

Но надо учитывать, что при x = − 1  знаменатель вы

Но надо учитывать, что при = − 1 знаменатель выражения x < 0 обращается в ноль. Поэтому второе условие < 0 следует дополнить записью о том, какие значения может принимать x

Тренировка на примерах

1. Найдите значение выражения \( |x\left| \text{ }+\text{ } \right|y|\), если \( x=\text{ }-7,5\text{ },y=\text{ }12.\)

2. У каких чисел модуль равен \( 5\)?

3. Найдите значение выражений:

а) \( |3|\text{ }+\text{ }|-9|;\)

б) \( |-5|\text{ }-\text{ }|6|;\)

в) \( |15\left| \cdot \right|-3|;\)

г) \( \displaystyle \frac{|8|}{|-2|}\).

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1:

Итак, подставим значения \( x\) и \( y\) в выражение \( |\mathbf{x}\left| \text{ }-\text{ } \right|\mathbf{y}|.\) Получим:

\( |-7,5|\text{ }+\text{ }|12|\text{ }=7,5\text{ }+\text{ }12\text{ }=\text{ }19,5.\)Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное \( 5\) имеют два числа: \( 5\) и \( -5\).

Решение 3:

а) \( |3|\text{ }+\text{ }|-9|=\text{ }3+9=\text{ }12;\)б) \( |-5|-\text{ }\left| 6 \right|\text{ }=\text{ }5-6=\text{ }-1;\)в) \( |15\left| \cdot \right|-3|\text{ }=\text{ }15\cdot 3=\text{ }45;\)г) \( \frac{|8|}{|-2|}=\frac{8}{2}=4.\)

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Расстояние между точками

Представим числовую ось. Отметим на ней две точки, например 5 и 3. Какое между ними расстояние? Ничего сложного, скажете вы, расстояние равно 53=2. И это правильный ответ. Сразу заметим, что 35=(1)(53)=2, то есть при вычитании из меньшей точки большей получаем то же расстояние, но со знаком минус.

Расстояние между точками 2 и 4 равно 2(4)=2. И опять, если мы поменяем местами числа в разности, то получим отрицательное расстояние 4(2)=(1)(2(4))=2

Общий посыл вы уловили. Для нахождения расстояния

Общий посыл вы уловили. Для нахождения расстояния между двумя точками, надо из большей точки вычесть меньшую. Если сделать наоборот, то получим противоположное, отрицательное расстояние.

Вроде все ясно. Ну и причем здесь модуль? А вот представим, что у вас нет точных значений. Вам просто дали точки a и b, и попросили найти расстояние между ними. Какая-то из двух разностей ниже будет расстоянием:

abba

Но какая именно? Тут к нам и приходит на помощь модуль. Расстояние между a и b обозначим так:

ab

Если a>b, то мы угадали с разностью и получим положительный результат. Взятие модуля никак на него не повлияет. Если a<b, то мы не угадали и получаем отрицательное расстояние. Но, по определению модуля, в результате все-равно получим положительное расстояние.

О

Расстоянием между двумя точками a и b на числовой оси называется модуль их разности: ∣ a − b ∣ .

Наконец, поговорим о модулях одного числа, например 5 или 2. Их можно представить вот так:

5=52=2

В этом смысле модуль одного числа можно понимать как расстояние от до этого числа (до 5 и до 2) на числовой оси.

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:

  • |a| > 0 

2. Модуль положительного числа равен самому числу.

  • |a| = a, если a > 0

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

  • |−a| = a

4. Модуль нуля равен нулю.

  • |0| = 0, если a = 0

5. Противоположные числа имеют равные модули.

  • |−a| = |a| = a

6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.

  • |a b| = |a| |b|, когда

a · b = 0

или

−(a · b), когда a · b < 0

7. Модуль частного равен частному от деления модуля числа числителя на модуль числа знаменателя: 

Избавление от знака модуля

Пусть нам дано уравнение $\left| f\left( x \right) \right|=a$, причём $a\ge 0$ (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:

\[\left| f\left( x \right) \right|=a\Rightarrow f\left( x \right)=\pm a\]

Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:

\[\begin{align}& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac{6}{5}=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac{14}{5}=-2,8. \\\end{align}\]

Вот и всё! Получили два корня: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Всё решение заняло буквально две строчки.

Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:

\[\left| 7-5x \right|=13\]

Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:

\[\begin{align}& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac{6}{5}=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end{align}\]

Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.

Уравнения и неравенства с модулем

Перед тем, как перейти к этой части, повторите, как решаются обычные уравнения и неравенства с одной переменной.

Уравнения

Приступая к задачам с ​\( \left|M\right| \), нужно все время помнить, что внутри знака может скрываться как положительное выражение, так и отрицательное.\( \left|3-x\right|=5\;\Rightarrow\;3-x=5\;или\;3-x=-5. \)​ Поэтому решить нужно оба варианта уравнения:                    x = 3 — 5  x = 3 — (- 5)                    x = — 2     x = 8Корни уравнения: — 2 и 8.Или посложнее: ​\( \left|6-5x\right|=2x+1 \)Сразу напомним себе, что ​\( 2x+1\geq0 \), следовательно, ​\( 2x\geq-1,\;и\;x\geq-\frac12 \).Теперь два варианта для положительного и отрицательного выражения под знаком ​\( \left|M\right| \):6 — 5x = 2x + 1 или 6 — 5x = — 2x — 1 7x = 5                        3x = 7x = ​\( х=\frac57 \)                x = ​\( х=\frac73 \)                                          x = ​\( х=2\frac13 \)Все условия соблюдены, уравнение имеет два корня: ​\( \frac57 \) и ​\( 2\frac13 \).

Неравенства

Здесь тоже приходится учитывать двойственную природу ​\( \left|M\right| \). Если в уравнениях мы обозначаем условие ​\( \left|x\right|=a\;и\;\left|x\right|=-a \), то в неравенствах помещаем содержимое модуля “меж двух огней” таким образом (табл. 1):

Таблица 1. Неравенства

Важно! Если  ​\( \left|M\right| \) ​ меньше числа,Важно! Если ​\( \left|M\right| \)​ меньше числа, то мы “упаковываем” его содержимое внутрь числового промежутка. Если ​\( \left|M\right| \) больше числа, то оно “вырывается” за его границы.Фактически придется решить два неравенства. Подробнее на примере: \( \left|x-6\right|<12 \) (помним про возможные “+12” и “-12”).Определим промежуток для ​\( \left|М\right|:-12<x-6<12 \)Составим систему из двух неравенств и решим их:\( -12<x-6\;\Rightarrow\;x>-\;6 \)  ​\( \;x-6<12\;\Rightarrow\;x<18 \)Таким образом, корни неравенства – все значения x ∈ (-6;18).А теперь то же самое с противоположным знаком: ​\( \left|x-6\right|>12 \)Выражение в ​\( \left|M\right| \)​ должно стать “меньше маленького” и “больше большого”:\( \;x-6<-12\;\Rightarrow\;x<-6 \)\( x-6>12\;\Rightarrow\;x>18 \)Корни неравенства – x ∈ (- ∞ ; — 6) ∪18; + ∞).

Основные свойства модуля

Первое свойство модуля

Модуль не может быть выражен отрицательным числом \( |\mathbf{a}|\text{ }\ge \text{ }\mathbf{0}\)

То есть, если \( \mathbf{a}\) – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.

Если \( \mathbf{a}\text{ }>\text{ }\mathbf{0},\) то \( \displaystyle \left| a \right|=a\).

Если \( a\) – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу.

Если \( a\text{ }<\text{ }\mathbf{0},\) то \( |\mathbf{a}|\text{ }=\text{ }-\mathbf{a}\)

А если \( a=0\)? Ну, конечно! Его модуль также равен \( 0\):

Если \( a=0\), то \( |\mathbf{a}|=\mathbf{a}\), или \( \displaystyle \left| 0 \right|=0\).

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:

\( \left| -4 \right|\text{ }=\text{ }\left| 4 \right|\text{ }=\text{ }4;\)\( \left| -7 \right|\text{ }=\text{ }\left| 7 \right|\text{ }=\text{ }7.\)А теперь потренируйся:

  • \( \left| 9 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  • \( \left| -3 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  • \( \left| 16 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  •  \( \left| 8 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  • \( \left| -17 \right|\text{ }=\text{ }?.\)

Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.

Довольно легко, правда? А если перед тобой вот такое число: \( \left| 2-\sqrt{5} \right|=?\)

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:

  • если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
  • если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим \( 2-\sqrt{5}\):

\( 2<\sqrt{5}\) (Забыл, что такое корень? Бегом повторять!)

Если \( 2<\sqrt{5}\), то какой знак имеет \( 2-\sqrt{5}\)? Ну конечно, \( 2-\sqrt{5}<0\)!

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

\( \left| 2-\sqrt{5} \right|=-\left( 2-\sqrt{5} \right)=-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2\)Разобрался? Тогда попробуй сам:

  • \( \left| \sqrt{3}-1 \right|=?\)
  • \( \left| 3-\sqrt{7} \right|=?\)
  • \( \left| 2-\sqrt{7} \right|=?\)
  • \( \left| \sqrt{13}-4 \right|=?\)

Ответы:

Перемещение и путь (расстояние)

Эти понятия на первый взгляд очень похожи. Но разница есть, и существенная. Попутешествуем еще немного вдоль числовой прямой. Движение направо – “плюс”, налево – знак “минус”. Начальная точка – “0” (рис. 3):
  • таксист отвез клиента на станцию “100 км” и привез обратно;
  • затем съездил с клиентом к “-100 км” и вернул его назад.
 Рис. 3. Перемещение и путь
Рис. 3. Перемещение и путь
На сколько километров переместилась машина от начальной точки за время движения? Как далеко от “0” она оказалась в конце пути?+100 — 100 — 100 + 100 = 0 – автомобиль к концу движения оказался в исходной точке.  Перемещение = 0. Должен ли пассажир платить за услугу?Важно! Когда говорят о перемещении, учитывается не пройденный путь, а только конечный результат, конечная точка. Модули не используются, результат может быть отрицательным.А теперь посчитаем, какое расстояние проехал таксист, двигаясь по дороге вправо и влево. Раз речь идет о расстоянии, записываем весь маршрут, используя необходимые символы:
  • так: ​\( \left|100\right|+\left|100\right|+\left|100\right|+\left|100\right|=400 \) км
  • или так: ​\( 4\times\left|100\right|=400 \) км проехал автомобиль
Расстояние = 400 км. Конечно же, пассажир должен заплатить за эту поездку.Важно! Расстояние – это всегда сумма модулей, то есть сумма положительных чисел и само – число положительное.

График функции ​\( y=\left

Все помнят, что графиком функции y = x является прямая, проходящая через центр координат (рис. 4).  Рис. 4. График функции y = x
Рис. 4. График функции y = x
Она свободно течет из — ∞ в + ∞ как относительно оси Ох, так и оси Оу.Но значение ​\( \left|M\right| \)​ – это главное его свойство! – число неотрицательное. Если задано: ​\( y\;=\left|x\right| \), то ​\( y\geq0 \). Другими словами, каким бы ни был х, больше или меньше 0, но у – всегда положительный.Поэтому та часть прямой, которая находилась ниже нулевой отметки по оси Оу, “отзеркаливает” наверх, и получается вот такой график (рис. 5). Рис. 5. График функции y = |x|
Рис. 5. График функции y = |x|
  • область определения D (определяем по оси Ох): (— ∞; + ∞);
  • область значений E (определяем по оси Оу): (0 ; + ∞);
  • у = 0 при х = 0;
  • функция убывает на промежутке (— ∞; 0), возрастает – на (0 ; +∞) (опред. по Ох);
  • функция симметрична относительно оси Оу, является четной.
В заключение напомним, что понятие “модуль” отражает реальные величины – путь, расстояние, которые не могут быть отрицательными. Отсюда – его особые свойства, на которые следует обращать внимание при вычислениях.Еще больше примеров смотрите в предложенном видео.

Особенности решения уравнений с модулем

К примеру, если знак абсолютной величины содержит Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.

К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.

|А + 5| = А + 5, если, А больше или равняется нулю.

5-А, если, А значение меньше нуля.

В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.

Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.

Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.

Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.

Теги